數學模式

• 基本型式：\(N_n = f(N_{n-1}, N_{n-2}, …)\)
  • \(N_n\)：實數，第 \(n\) 期期末數量
  • \(n\)：想要得到結果的項次
  • 各項次對應一期
  • \(f\)：某種函數
  • \(N_{n-1}\)：實數，前一期期末數量
  • \(N_{n-2}\)：實數，前二期期末數量
  • …
• 項次式：\(N_n = h(n)\) N_n = g(n)
  • \(h\)：某種函數
  • 項次式是差分方程式的解
• 平移原則：以下代表相同關係
  • \(N_n = f(N_{n-1}, N_{n-2}, …)\)
  • \(N_{n+1} = f(N_n, N_{n-1}, …)\)
  • \(N_{n-1} = f(N_{n-2}, N_{n-3}, …)\)
  • \(…\)
  • 都代表：某期數量 = 前一期數量、前一期數量…的某種運算關係
• 變數對應一致原則：以下代表相同關係
  • \({\color {red} N}_n = f({\color {red} N}_{n-1}, {\color {red} N}_{n-2}, …)\)
  • \({\color {blue} x}_n = f({\color {blue} x}_{n-1}, {\color {blue} x}_{n-2}, …)\)
  • \({\color {green} y}_n = f({\color {green} y}_{n-1}, {\color {green} y}_{n-2}, …)\)
  • \({\color {purple} z}_{n+1} = f({\color {purple} z}_n, {\color {purple} z}_{n-1}, …)\)
  • \(…\)

首項或起始值項次是 \(0\) 還是 \(1\)？

• 預設首項或起始值項次是 \(0\)，如 \(N_0\)
• 若首項項次為 \(1\)：
  • 定義一差分方程式 ：\(x_n = a_1 x_{n-1} + a_2 x_{n-2} + …\)
  • x_n = a₁x_n-1 + a₂x_n-2 + …
  • 遞迴或迭代關係相同
  • \(x_1 = N_0\)
  • \(x_n = N_{n-1}\)
  • 如
    • 等比數列：\(N_n = r N_{n-1}\)
      • 項次式：\(N_n = r^n = N_0\)
      • \(x_n = N_{n-1} = r^{n-1}N_0 = r^{n-1}x_1\)
    • 等差數列：\(N_n = N_{n-1} + d\)
      • \(N_n = N_0 + nd\)
      • \(x_n = N_{n-1} = N_0 + (n-1)d = x_1 + (n-1)d\)

遞迴式還是項次式？

• 遞迴式
  • 每項根據前幾項決定
  • \(N_n = f(N_{n-1}, N_{n-2}, …)\)
  • \(f\) 為某個函數
  • 計算較簡單 需要從首項開始計算
• 項次式
  • 每項根據項次計算
  • \(N_n = f(n)\)
    • \(f\) 為某個函數
  • 計算公式可能較複雜
  • 不需要從首項開始計算
  • 若項次式中含累加或累乘，計算各項會重複計算
    • 如 \(N_n = N_{n-1} + \sum_{i=0}^n a_i\)
      • 遞迴式：\(N_n = n_{n-1} + a_n\)
      • 線性方程式，二者可以互換

線性差分方程式（Linear Difference Equation）

• \(N_n = a_1 N_{n-1} + a_2 N_{n-2} + … = \sum_{i=0}^n a_i N_{n-i}\)
  • \(a_1\)、\(a_2\)、\(…\) 為實數
  • \(N_n = N_{n-1} + \Delta N_n\) 中等號右端 \(N_{n-1}\) 的係數 \(1\) 包含於 \(a_1\) 中
• 如：成長模式：\(N_n = N_{n-1} + g N_{n-1} = (1 + g) N_{n-1}\)
• 非線性差分方程式（Non-linear Difference Equation），如：有上限成長模式：\(N_n = N_{n-1} + g_0 N_{n-1} (1 – N_{n-1}/K)\)
• 一階（First Order）差分方程式：\(N_n = a N_{n-1}\)
  • \(a \neq 0\) 為實常數
  • 需要給定一個起始值 \(N_0\) 才能決定後續各值
    • \(N_1 = a N_0\)
    • \(N_0\) 給定
• 二階（Second Order）差分方程式：\(N_n = a_1 N_{n-1} + a_2 N_{n-2}\)
  • \(a_2 \neq 0\)
  • 需要給定兩個起始值 \(N_0\) 與 \(N_1\) 才能決定後續各值
    • \(N_2 = a_1 N_1 +a_2 N_0\)
    • \(N_0\) 與 \(N_1\) 給定 …

均勻方程式與非均勻方程式

• \(N_n = a_1 N_{n-1} + a_2 N_{n-2} + … +b = \sum_{i=1}^n a_i N_{n-i} + b\)
  • \(b\)：常數
  • \(b = 0\)：均勻方程式（Homogeneous Equation）
  • \(b \neq 0\)：非均勻方程式（Non-homogeneous Equation）
    • 如 :定量採收模式 \(N_n = (1 + g) N_{n-1} – H\)

一階方程式項次式

• \(N_n = a N_{n-1} + b\)
  • 若 \(b \neq 0\)：非均勻方程式
  • 均勻化：
    • 令 \(N = u + k \Rightarrow u = N – k\)
      • \(k\) 為實常數
        • \(u_n = N_n – k\)
        • \(u_{n-1} = N_{n-1} – k\)
        • \(…\)
        • \(u_0 = N_0 – k\)
      • 使成為 \(u_n = a u_{n-1}\) 形式
        • \(N_n = a N_{n-1} + b \Rightarrow u_n + k = a (u_{n-1} + k) + b \)
        • \( \Rightarrow u_n = a u_{n-1} + \underbrace{a k + b – k}_{= 0} = a u_{n-1}\)
        • \(\Rightarrow k = b/(1 – a)\)
    • \(u_n = a u_{n-1} = a (a u_{n-2}) = \underbrace{a^2 u_{n-2} = a^3u_{n-3} = …= a^n u_0}_{a \text{ 的冪次與 } u \text{ 的下標相加恆為 }0}\)
    • \(\Rightarrow N_n – k = a^n (N_0 – k)\)
    • \(\Rightarrow N_n = a^n (N_0 – k) + k = a^n N_0 + (1 – a^n) \underbrace{k}_{k = b/(1 – a)}\)
    • \(\Rightarrow N_n = a^n N_0 + \frac{1-a^n}{1-a}b\)
    • 當 \(b = 0\)：\(N_n = a^n N_0\) 為一等比數列
      • 公比為 \(a\)
      • 首項為 \(N_0\)
    • 當 \(a = 1\)
      • \(N_n = a^n N_0\lim_{a \to 1} +\underbrace{b\frac{1 – a^n}{1 – a}}_{k} = a^n N_0 + b\lim_{a \to 1} \frac{\frac{d}{da}(1 – a^n)}{\frac{d}{da}(1 – a)} = a^n N_0 + nb\)
        • L’Hôpital 法則：確認分子分母均 \(\to 0\) 後，分子分母同時對 \(a\) 微分，再將 \(a = 1\) 代入
        • 等差數列：首項為 N₀，公差為 b
      • \(N_n = \underbrace{a}_{a = 1} N_{n-1} + b = N_{n-1} + b\)
      • N_n = a N_n-1 + b  = N_n = N_n-1 + b
      • 平衡值 \(N^*\) 滿足 \(N^* = a N^* + b \Rightarrow N^* = a N^* + b \Rightarrow N^* = b/(1 – a) = k\)
        • 均勻方程式的平衡值 \(N^* = 0\)
      • 收斂範圍
        • \(N_n = f(N_{n-1}) \Rightarrow f(N) = a N + b\)
        • \(f’ (N) = a\)
        • 收斂範圍：\(-1 < a < 1\)

成長模式與定量採收模式

• 成長模式：\(N_n = N_{n-1} + g N_{n-1} = (1 + g) N_{n-1}\)
  • \(N_n\)：第 n 期數量
  • \(g\)：成長率
  • 項次式：\(N_n = (1+g)^nN_0\)
  • \(N_0\)：起始數量
• 定量採收模式：\(N_n = (1 + g)N_{n-1} – H\)
  • \(H > 0\)：每期採收量
  • 項次式：\(N_n = (1 + g)^n N_0 – H \frac{(1+g)^n – 1}{g}\)

二階均勻方程式項次式

• \(N_n = a_1 N_{n-1} + a_2 N_{n-2}\)
  • \(a_1\)、\(a_2\)：實常數
  • \(a_2 \neq 0\)
  • 需要兩個實數起始值 \(N_0\) 與 \(N_1\)
  • 於是所有的 \(N_n\) 為實數
• 輔助方程式 ：\(\lambda^2 – a_1 \lambda – a_2 = 0\)
• \(\lambda_{1, 2} = \frac{1}{2}\left(a_1 \pm \sqrt{a_1^2 + 4 a_2}\right)\)
  • \((\lambda – \lambda_1)(\lambda – \lambda_2) = 0 \Rightarrow \lambda^2 – (\lambda_1 + \lambda_2)\lambda +\lambda_1\lambda_2 = \lambda^2 – a_1\lambda – a_2 = 0\)
  • \(\Rightarrow a_1 = \lambda_1 + \lambda_2\)
  • \(\Rightarrow a_2 = \lambda_1\lambda_2\)
• \(N_n = C_1 \lambda_1^n= C_2 \lambda_2^n\)
• 求解 \(C_1\) 與 \(C_2\)：
  • \(N_0 = C_1 + C_2\)
  • \(N_1 = C_1 \lambda_1 + C_2 \lambda_2\)
  • \(C_1 = \frac{N_1 – N_0 \lambda_2}{\lambda_2 – \lambda_1}\)
  • \(C_2 = \frac{N_0 \lambda_1- N_1}{\lambda_2 – \lambda_1}\)
• \(N_n = C_1 \lambda_1^n + C_2 \lambda_2^n = \frac{N_1 – N_0 \lambda_2}{\lambda_2 – \lambda_1}\lambda_1^n + \frac{N_0 \lambda_1- N_1}{\lambda_2 – \lambda_1} \lambda_2^n\)
• \(\lambda_1\) 與 \(\lambda_2\) 有三種狀況：
  • 相異實根
  • 同實根（\(\lambda_1 = \lambda_2\)）
  • 共軛相異複根
• 若 \(\lambda=\lambda_1 = \lambda_2 = a_1/2\)（重根）
  • \(\frac{N_1 – N_0 \lambda_2}{\lambda_2 – \lambda_1}\lambda_1^n + \frac{N_0 \lambda_1- N_1}{\lambda_2 – \lambda_1} \lambda_2^n=N_0\left(\frac{\lambda_1 \lambda_2^n – \lambda_2 \lambda_1^n}{\lambda_1 – \lambda_2}\right) + N_1 \left(\frac{\lambda_1^n – \lambda_2^n}{\lambda_1 – \lambda_2} \right)\)
    • 根據 \(\lambda_1^n\) 與 \(\lambda_2^n\) 區隔 \(\Rightarrow\) 根據 \(N_0\) 與 \(N_1\) 區隔
  • 令 \(\lambda_1 = \lambda\)，\(\lambda_2 = \lambda + \Delta \lambda\)
  • 求 \(B_0 =\lim_{\lambda_1 \to \lambda_2} \frac{\lambda_1 \lambda_2^n – \lambda_2 \lambda_1^n}{\lambda_1 – \lambda_2}\)
    • \(B_0 =\lim_{\lambda_1 \to \lambda_2} \frac{\lambda_1 \lambda_2^n – \lambda_2 \lambda_1^n}{\lambda_1 – \lambda_2} = \lim_{\Delta \lambda \to 0}\frac{\lambda (\lambda＋\Delta \lambda)^n – (\lambda + \Delta \lambda)\lambda^n \lambda}{-\Delta \lambda} \)
    • \(\Rightarrow B_0=\lim_{\Delta \lambda \to 0}\frac{d\left[\lambda (\lambda＋\Delta \lambda)^n – (\lambda + \Delta \lambda)\lambda^n\right]/d \Delta \lambda}{-d\Delta \lambda/\Delta\lambda} \)
    • \(\Rightarrow B_0 = \lim_{\Delta \lambda \to 0} \left[\lambda^n – n \lambda (\lambda + \Delta \lambda)^{n-1} \right]= (1 – n )\lambda^n) = (1-n)(a_1/2)^n\)
      • L’Hôpital 法則：確認分子分母均 \(\to 0\) 後，分子分母同時對 \(\Delta \lambda\) 微分，再將 \(\Delta \lambda = 0\) 代入
  • 求 \(B_1 = \lim_{\lambda_1 \to \lambda_2}\frac{\lambda_1^n – \lambda_2^n}{\lambda_1 – \lambda_2}\)
    • \(B_1 = \lim_{\lambda_1 \to \lambda_2}\frac{\lambda_1^n – \lambda_2^n}{\lambda_1 – \lambda_2} = \lim_{\Delta \lambda \to 0}\frac{\lambda^n – (\lambda + \Delta \lambda)^n}{-\Delta \lambda}\)
    • \(\Rightarrow B_1 = \lim_{\Delta \lambda \to 0}\frac{d[ (\lambda + \Delta \lambda)^n – \lambda^n]/d \Delta \lambda}{-d \Delta \lambda/d \Delta \lambda} = \lim_{\Delta \lambda \to 0} n (\lambda + \Delta \lambda)^{n-1} = n \lambda^{n-1}= n(a_1/2)^{n-1}\)
  • \(\Rightarrow N_n = B_0 N_0 + B_1 N_1 = (1 – n) (a_1/2)^n N_0 + n(a_1/2)^{n-1} N_1\)
  • \(\Rightarrow N_n = \left[N_0 + (2N_1/a_1 – N_0)\right]\lambda^n = \left[(A_0 + A_1 n)(\frac{a_1}{2})^n\right]\)
    • \(A_0 = N_0\)，\(A_1 = N_1/\lambda – N_0\)

Fibonacci 數列

• \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)
• \(F_0 = F_1 = 1\)
• 令 \(F_n = \lambda^n\) F_n = λⁿ
• \(\lambda^n = \lambda^{n-1} + \lambda^{n-2}\)
• \(\Rightarrow\) 同乘 \(\lambda^{-n+2}\) 輔助方程式：\(\lambda ^2 – \lambda -1 = 0\)
• \(\Rightarrow \lambda_{1,2} = \frac{1}{2} \left(1 \pm \sqrt{1+4}\right) = \frac{1}{2}\left(1\pm\sqrt{5}\right)\)
• 通解 \(F_n = C_1\lambda_1 + C_2\lambda_2 = C_1\left[\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)\right]^n + C_2\left[\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{5}\right)\right]^n\)
• 當 \(n = 0\) 時 :\(F_0 = C_1 + C_2 = 1\)
• 當 \(n=1\) 時 : \(F_1 = C_1 \left(1 + \sqrt{5}\right)/2 + C_2 \left(1 – \sqrt{5}\right)/2\)
• \(\Rightarrow C_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}\)
• \(\Rightarrow C_2 =1-C_1 = 1- \frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5} -1}{2 \sqrt{5}}\)
• \(\Rightarrow F_n = \frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}\right)^n – \frac{1 – \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}\left(\frac{1 – \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}\right)^n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]\)
• \(\lim_{n \to \infty} F_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right] = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n \)
  • \(\left|\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right| \approx 0.618 < 1 \Rightarrow \lim_{n\to \infty} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n = 0\)
  • 趨近於一公比為 \((1 + \sqrt{5})/2\) 的等比數列
  • \(\lim_{n \to \infty} F_n/F_{n-1} = (1 + \sqrt{5})/2\)
  • 此趨勢與起始值無關（除非 \(N_0 =N_1 = 0\)）
• 若起始項次為 \(1\)：
  • x_n=F_(n-1)=1/√5 [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n ]
  • x₁ = x₂ = 1

Fibonacci 數列工作表

Fibonacci 數列

• 根據根建立項次式

Luca 數列

• \(L_n = L_{n-1} + L_{n-2}\)
  • 與 Fibonacci 數列相同
• \(L_0 = 2\)L₀ = 2
• \(L_1 = 1\)
• 通解 \(L_n = C_1 \left[\left(1+ \sqrt{5}\right)/2\right]^n + C_2 \left[\left(1- \sqrt{5}\right)/2\right]^n\)
• 當 \(n = 0\) 時：\(L_0 = C_1 + C_2 = 2\)
• 當 \(n = 1\) 時：\(L_1 = C_1 \left(1+ \sqrt{5}\right)/2 + C_2 \left(1- \sqrt{5}\right)/2 = 1\)
• \(\Rightarrow C_1 = C_2 = 1\)
• \(\Rightarrow L_n = \left[\left(1+ \sqrt{5}\right)/2\right]^n + \left[\left(1- \sqrt{5}\right)/2\right]^n\)

Luca 數列工作表

二階方程式項次式

• \(N_n = a_1 N_{n-1} + a_2 N_{n-2} + b\)
• \(a_1\)、\(a_2\) 與 \(b\) 均為實數
• 兩個實數起始值 \(N_0\) 與 \(N_1\)
• 均勻化
  • 令 \(u = N- k \Rightarrow N = u + k\)
  • \(u_n + k = a_1 (u_{n-1}+k) + a_2 (u_{n-2}) + b\)
  • \(\Rightarrow u_n = a_1 u_{n-1} + a_2 u_{n-2} + \underbrace{b + k (-1 + a_1 + a_2)}{ = 0}\)
  • \(k = b /(1 – a_1 – a_2) \Rightarrow u_n = a_1 u_{n-1} + a_2 u_{n-2}\)
  • 解輔助方程式 \(\lambda^2 = a_1 \lambda + a_2\) 得：
    • \(\lambda_{1,2} = \frac{1}{2}\left(a_1 \pm \sqrt{a_1^2 + 4 a_2}\right)\)
• 先考慮 \(a_1 + a_2 \neq 1\) 的狀況
  • 若 \(\lambda_1 \neq \lambda_2\)
    • \(u_n = C_1 \lambda_1^n + C_2 \lambda_2^n\)
    • \(N_n = C_1 \lambda_1^n + C_2 \lambda_2^n + k\)
    • \(C_1\) 與 \(C_2\) 取決於：
      • 當 \(n = 0\)：\(N_0 = C_1 + C_2 + k\)
      • 當 \(n = 1\)：\(N_1 = C_1 \lambda_1 + C_2 \lambda_2\)
      • \(\Rightarrow C_1 = \frac{(N_1-k) – (N_0 – k) )}{\lambda_1 – \lambda_2}\)
      • \(\Rightarrow C_2 = N_0 – C_1 – k = \frac{(N_0 – k)\lambda_1 – (N_1 – k)}{\lambda_1 – \lambda_2}\)
      • \(\Rightarrow N_n=\frac{N_1-N_0 λ_2}{λ_1-λ_2 }λ_1^n+\frac{N_0 λ_1-N_1}{λ_1-λ_2}λ_2^n+k\left[-\frac{(1-λ_2 ) λ_1^n+(λ_1-1) λ_2^n}{λ_1-λ_2}+1\right] \)
      • \(\Rightarrow N_n =\frac{N_1-N_0 λ_2}{λ_1-λ_2 }λ_1^n+\frac{N_0 λ_1-N_1}{λ_1-λ_2}λ_2^n-\frac{b}{1-a_1-a_2} \left[\frac{(1-λ_2 ) λ_1^n+(λ_1-1) λ_2^n}{λ_1-λ_2}-1\right]\)
    • 若 \(\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = a_1/2\)
      • \(u_n = (A_0 + A_1 n)(a_1/2)^n\)
      • \(N_n = (A_0 + A_1 n) (a_1/2)^n + k\)
      • \(A_0\) 與 \(A_1\) 取決於：
        • 當 \(n = 0\)：\(N_0 = A_0 + k\)
        • 當 \(n = 1\)：\(A_1 = (A_0 + A_1)(a_1/2) + k\)
        • \(\Rightarrow A_0 = N_0 – k\)
        • \(\Rightarrow A_1 = \frac{N_1 – k}{a_1/2} – A_0 = \frac{N_1 – k}{a_1/2}- N_0 + k\)
        • \(\Rightarrow N_n = \left[N_0 – k + \left(\frac{N_1 – k}{a_1/2} -N_0 + k\right)n\right](\frac{a_1}{2})^n + k\)
        • \(\Rightarrow N_n = \left[N_0 + \left(\frac{2N_1}{a_1} – N_0\right)n\right](\frac{a_1}{2})^n + k \left[(n-1)(a_1/2)^n – n (a_1/2)^{n-1} +1\right]\)
        • \(\Rightarrow N_n = \left[N_0 + \left(\frac{2N_1}{a_1} – N_0\right)n\right](\frac{a_1}{2})^n + b\frac{(n-1)\lambda^n – n \lambda^{n-1} +1}{(a_1/2 – 1)^2}\)
          • \(a_1 = \lambda_1 + \lambda_2\)
          • \(a_2 = – \lambda_1 \lambda_2\)
          • \(k = \frac{b}{1 – a_1 – a_2} = \frac{b}{1 – \lambda_1 – \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_2} = \frac{b}{1 – 2 \lambda + \lambda^2} = \frac{b}{(\lambda – 1)^2} = \frac{b}{(a_1/2 – 1)^2} \)
  • 當 \(a_1 + a_2 = 1\) 時
    • 因為 \(1 – a_1 – a_2 = 0\)，輔助方程式必有一解 \(\lambda = 1\)，且 另一解必為實數
      • 將 \(\lambda = 1\) 代入輔助方程式 \(\lambda^2 – a_1\lambda – a_2 = 0\)
    • 令 \(\lambda_1 = 1\) λ₁ = 1
    • 將 \(a_1\) 與 \(a_2\) 用 \(\lambda_1\) 與 \(\lambda_2\) 表示
      • \(a_1 = \lambda_1 + \lambda_2\)\
      • \(a_2 = – \lambda_1 \lambda_2\)
      • \(k = \frac{b}{1 – a_1 – a_2} = \frac{b}{1 – \lambda_1 – \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_2}\)
    • 當 \(\lambda_2 \neq \lambda_1\) 時（即 \(\lambda_2 \neq 1\)）
      • \(a_2 = – \lambda_1 \lambda_2 \Rightarrow \lambda_2 = -a_2/\lambda_1 = – a_2\) （非 \(1\) 的根）
      • \(N_n = \lim_{\lambda_1 \to 1}\left\{ \frac{N_1-N_0 λ_2}{λ_1-λ_2 }λ_1^n+\frac{N_0 λ_1-N_1}{λ_1-λ_2}λ_2^n+k \left[-\frac{(1-λ_2 ) λ_1^n+(λ_1-1) λ_2^n}{λ_1-λ_2}+1\right]\right\}\)
        • \(\lim_{\lambda_1 \to 1} \frac{N_1-N_0 λ_2}{λ_1-λ_2 }λ_1^n = \frac{N_1 – N_0 \lambda_2}{1 – \lambda_2} = \frac{N_1 + N_0 a_2}{1 + a_2}\)
        • \(\lim_{\lambda_1 \to 1}\frac{N_0 λ_1-N_1}{λ_1-λ_2}λ_2^n = \frac{N_0 – N_1}{1 + a_2}(-a_2)^n\)
        • \(\lim_{\lambda_1 \to 1}k \left[-\frac{(1-λ_2 ) λ_1^n+(λ_1-1) λ_2^n}{λ_1-λ_2}+1\right] =- b \lim_{\lambda_1 \to 1}\frac{\frac{(1-\lambda_2)\lambda_1^n + (\lambda_1 – 1)\lambda_2^n}{\lambda_1 – \lambda_2} – 1}{1 – \lambda_1 – \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_2}\)
        • \( \hspace{1cm} = -b\lim_{\lambda_1 \to 1} \frac{1-\lambda_2)\lambda_1^n + (\lambda_1 – 1)\lambda_2^n – \lambda_1 + \lambda_2}{(1 – \lambda_1 – \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_2)(\lambda_1 – \lambda_2)}\)
        • \(\hspace{1cm} = b\frac{n(1-\lambda_2 + \lambda_2^n-1)}{(1 – \lambda_2)^2} = -b \frac{n(1 + a_2)+(-a_2)^n-1}{(1+a_2)^2}\)
          • L’Hôpital 法則：確認分子分母均 \(\to 0\) 後，分子分母同時對 \(\lambda_1\) 微分，再將 \(\lambda_1 = 1\) 代入
      • \(N_n = \frac{N_1 + N_0 a_2+ (N_0 – N_1)(-a_2)^n}{1 + a_2} + b\frac{n(1+a_2)+ (-a_2)^n-1}{(1+a_2)^2}\)
    • 當 \(\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = 1\) 時
      • \(a_2 = – \lambda_2 = -1\)
      • \(a_1 = \lambda_1 + \lambda_2 = 2\)
      • \(N_n = \lim_{\lambda \to 1} \underbrace{\left\{\left[N_0 + n\left(\frac{N_1}{\lambda} – N_0\right)\right]\lambda^n – b\frac{n(1 – \lambda) + \lambda^n -1}{(1 – \lambda)^2}\right\}}_{\lambda_1 \neq \lambda_2 \text{ 且 } a_1 + a_2 = 1}\)
      • \(\hspace{1 cm} = N_0 + n(N_1 – N_0) – b\lim_{\lambda \to 1}\frac{n(1 – \lambda) + \lambda^n -1}{(1 – \lambda)^2}\)
      • \(\hspace{1 cm} = N_0 + n(N_1 – N_0) + \frac{b}{2}\lim_{\lambda \to 1}\frac{-n + n\lambda^{n-1}}{1 – \lambda}\)
      • \(\hspace{1 cm} = N_0 + n(N_1 – N_0) – \frac{b}{2}n(n-1)\)
        • L’Hôpital 法則：確認分子分母均 \(\to 0\)後，分子分母同時對 \(\lambda\) 微分，再將 \(\lambda = 1\) 代入，若仍為 \(0/0\) 形式，持續上述步驟
      • 或 \(N_n = \lim_{a_2 \to -1}\underbrace{\left\{ \frac{N_1 + N_0 a_2+ (N_0 – N_1)(-a_2)^n}{1 + a_2} + b\frac{n(1+a_2)+ (-a_2)^n-1}{(1+a_2)^2}\right\}}_{ \lambda = \lambda_1 = \lambda_2 \text{ 且 } a_1 + a_2 \neq 1}\)
      • \(\hspace{1 cm} N_0 + n(N_1 – N_0)+ \frac{b}{2}\lim_{a_2 \to -1}\frac{n – n(-a_2)^{n-1}}{1+a_2}\)
      • \(\hspace{1 cm} N_0 + n(N_1 – N_0)+ \frac{b}{2} n(n+1)\)

二階方程式漸近趨勢

• \(n \to \infty\) 時的漸近趨勢
  • \(\lim_{n \to \infty} N_n = \pm \infty\) 時：發散
  • \(\lim_{n \to \infty} N_n\) 存在時：收斂至 \(L = \lim_{n \to \infty} N_n\)
  • 令複數 \(\lambda = x + i y\)
    • \(x\) 與 \(y\) 分別為 \(\lambda\) 的實部與虛部
  • \(|\lambda| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
  • \(\theta = \tan^{-1}({y/x})\)
  • \(\lambda = |\lambda|(\cos\theta + i \sin \theta) = |\lambda e^{i \theta}| \)
  • \(\lambda^n = |\lambda|^n e^{i n \theta} = |\lambda|^n [\cos(n \theta) + i \sin (n\theta )]\)
• 收斂條件：\(|\lambda_1| < 1\) 且 \(|\lambda_2| < 1\)
  • 即達到穩定
• 平衡值 \(N^*\) 滿足：\(N^* = a_1 N^* + a_2 + b\)
  • 平衡時 \(N_n = N_{n-1} = N_{n-2} = N^*\)
  • N_n = N_n-1 = N_n-2 = N^*
• \(\Rightarrow N^* = \frac{b}{a_1 + a_2 – 1} = -k\)
  • 當 \(b = 0\) 時，\(N^* = 0\)
  • 必須滿足收斂條件，平衡值才是收斂值
• 根據 \(a_1\) 與 \(a_2\) 判斷是否收斂
  • 當 \(a_1^2 + 4 a_2 \geq 0\) 時，實根
    • 較大的根 \(\frac{1}{2}(a_1 + \sqrt{a_1^2 + 4 a_2}) < 1\)
    • \(\Rightarrow a_1 + \sqrt{a_1^2 + 4 a_2} < 2\)
    • \(\Rightarrow \sqrt{a_1^2 + 4 a_2} < 2 – a_1\)
    • \(\Rightarrow a_1^2 + 4 a_2 < 4 – 4 a_1 + a_1^2\)
    • \(\Rightarrow a_2 < 1 – a_1\)
      • \(a_2 = 1 – a_1 \) 時 \(N^*\) 不存在
    • \(-1 < \frac{1}{2}(a_1 – \sqrt{a_1^2 + 4 a_2})\) 較小的根
    • \(\Rightarrow -2 < a_1 – \sqrt{a_1^2 + 4 a_2}\)
    • \(\Rightarrow -a_1 – 2 < – \sqrt{a_1^2 + 4 a_2}\)
    • \(\Rightarrow a_1 + 2 > \sqrt{a_1^2 + 4 a_2}\)
    • \(\Rightarrow 4 + 4 a_1 + a_1^2 > a_1^2 + 4 a_2 \Rightarrow 1 + a_1 > a_2\)
  • 當 \(a_1^2 + 4 a_2 < 0\) （\(a_2\) 必 \(\<0)）時，非實根
    • \(\lambda_{1,2} = \frac{1}{2}\left(a_1 \pm i \sqrt{\underbrace{-a_1^2 – 4 a_2}_{>0}}\right) \)
    • \(|\lambda| = \frac{1}{2}\sqrt{a_1^2 + (-a_1^2 – 4a_2)}= \frac{1}{2}\sqrt{-4a_2} = \sqrt{-a_2}\)
    • 兩根絕對值相同
    • 收斂條件 ：\(\\sqrt{-a_2} < 1\)
    • \(\Rightarrow -a_2 < 1 \Rightarrow a_2 > 1\)
    • \(a_2 = 0\)：相當於一階

二階方程式項次式工作表

• 建立一二階差分方程式差分式工作表
• 可與遞迴式比較
• 考慮輔助方程式重根與特殊解分母為 0 四種組合狀況
• 於輔助方程式非重根且特殊解分母不為 0 時，使用複數運算
  • 使用 Excel 內建複數運算函數
• Excel 複數運算
  • 使用內建函數（\(z\)，\(z_1\) 與 \(z_2\) 均為複數）
  • IMSUM (\(z_1, z_2\))：\(z_1 + z_2\)
  • IMSUB (\(z_1, z_2\))：\(z_1 + z_2\)
  • IMPRODUCT (\(z_1, z_2\))：\(z_1 z_2\)
  • IMDIV (\(z_1, z_2\))：\(z_1 / z_2\)
  • IMPOWER (\(z_1, z_2\))：\(z_1 ^{z_2}\)
  • IMSQRT(\(z\))：\(\sqrt{z}\)
  • IMREAL(\(z\))：\(z\) 的實部
  • IMAGINARY(\(z\))：\(z\) 的虛部
  • IMABS(\(z\)) ：\(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\) （\(z = x + iy\)，\(x\) 與 \(y\) 均為實數 ）
• 無法使用一般運算符號 +、-、*、/、…直接對複數進行運算
• 運算式較長，且順序也不同 為避免使用複數函數使運算式過於複雜，有些參數必須預先完成運算
• Excel 中的複數
  • 以文字 \(x+yi\) 或 \(x+yj\) 表示
  • 實數 \(x\) 為實部
  • 實數 \(y\) 為虛部
  • i 或 j 代表 \(\sqrt{-1}\)
  • 文字內不能有空格
  • 若函數變數為複數，會自動將實數轉換為複數

參考文獻

• Neuwirth E & Arganbright D (2004). The Active Modeler: Mathematical Modeling with Microsoft^® Excel. Thomson Books/Cole.
• Banerjee S. (2021). Mathematical Modeling: Models, Analysis and Applications. 2nd Ed, Chapman and Hall/CRC.
• Cull P, Flahive M & Robson R (2008). Difference Equations: From Rabbits to Chaos (Undergraduate Texts in Mathematics). Springer.