離散區間模式（Discrete Compartmental Model）

根據守恆關係所建立的建模概念
保持守恆關係的物理量（也可能是某種性質）可能是：數目、質量、動量、能量、…
區間不限實體區隔，每個區間代表一個集合，具有相同的特定屬性，如物種、性別、年齡、健康狀況、…等
區間內的物理量被監控
- 此物理量通常假設在區間內均勻分佈
區間有邊界，通過邊界的物理量也被監控
- 邊界內：擁有某特定屬性
- 邊界外：不具某特定屬性
物理量監控或描述的型態：
- 離散模式（Discrete Model）：每隔一段時間（或是距離）監控一次
  - 不關心監測點之間的物理量
  - 監控間隔為期間，通常為固定值
- 連續模式（Continuous Model）：隨時（或任何位置）都監控
一個區間內，所探討的物理量滿足：
- 區間內變化量 = 進入區間量 – 離開區間量
- $ \Delta N = \Sigma N_{\text{in}} – \Sigma N_{\text{out}}$
- $ \Delta N$：變化量，增加為正，減少為負
- $ \Sigma$：經各途徑的總量
- $ N_{\text{in}} > 0$：進入區間量，含於區間內產生
- $N_{\text{out}} > 0$：離開區間量，含於區間內消滅量，
- 於是，$ N_n = N_{n-1} +\Delta N_n = N_{n-1} + \Sigma N_{\text{in}} – \Sigma N_{\text{out}}$（期末結算）

也可以是：$ \Delta N = \Sigma \dot N =\Sigma N_{\text{in}} – \Sigma N_{\text{out}}$
- $ \dot N$：淨進入區間量
  - $ \dot N > 0$：進入區間量，含於區間內產生
  - $ \dot N < 0$：離開區間量，含於區間內消滅
模式依區間數目可分為：
- 單區間模式（Single-Compartment Model）：只有一個區間
- 複區間模式（Multi-Compartment Model）：有數個區間

複區間模式（Multi-Compartment Model）

每個區間代表不同屬性
不屬於任何區間的外界環境也可視為一獨立區間
- 任何區間可與外界進行傳送
各區間之間有物理量的傳送

設有兩個區間，分別標註 $1$ 與 $2$
外界環境標註為 $0$
此二區間內的於期間 $n$ 的既有物理量分別為 $N_{1, n-1}$ 與 $N_{2, n-1}$
在各期間內
- 此二區間內分別有 $G_1$ 與 $G_2$ 的物理量產生
- 有 $N_{0\to 1}$ 物理量自外界傳送至區間 $1$ 內
- 有 $N_{0\to 2}$ 物理量自外界傳送至區間 $2$ 內
- 有 $N_{1\to 2}$ 物理量自區間 $1$ 傳送至區間 $2$ 內
上述產生量與傳送量都是各不同途徑的總和淨值
- 產生量若為負值，即為消滅
- 傳送量若為負值，傳送方向相反

每個區間各建立一守恆關係：
- $\Delta N_{1, n} = G_1 + N_{0 \to 1} – N_{1 \to 2}$
- $\Delta N_{2, n} = G_2 + N_{0\to 2} + N_{1\to 2}$
於是
- $N_{1, n} = N_{1, n-1} + \Delta N_{1, n} = N_{1, n-1} + G_1 + N_{0 \to 1} – N_{1 \to 2}$ \)
- $N_{2, n} = N_{2, n-1} + \Delta N_{2, n} = N_{2, n-1} + G_2 + N_{0 \to 2} + N_{1 \to 2}$ \)
- 形成聯立關係式
- 注意：區間之間的傳輸在兩式中正負相反從區間 $1$ 離開的物理量 = 進入區間 $2$ 的物理量
若將二區間守恆關係相加：
- $N_{1, n} + N_{2, n} = N_{1, n-1} + N_{2, n-1} + G_1 + G_2 + N_{0 \to 1} + N_{0\to 2}$
- 相當於 $N_n = N_{n-1} + G + \dot N$
  - $N_n$ = N_{1, n} + N_{2, n}：二區間總物理量
  - $N_n-1$ = N_{1, n-1} + N_{2, n-1}：二區間總既有物理量
  - $G = G_1 + G_2$：二區間總物理淨產生量
  - $\dot N = N_{0\to 1} + N_{0\to 2}$：二區淨進入物理量
- 相當於將兩區間合併為一個區間合併
- 區間之間的傳送互相抵銷

例題

兩水箱 A 與 B
剛開始兩水箱均有 $A_0 = B_0 = 100$ 的水
每分鐘
- 朝水箱 A 注水 $N_{0\to A} = 3$ kg
- 有 N_A→B = 4 kg 水自水箱 A 流入水箱 B（當水箱 A 水量 $> 0$ 時）
- 有 N_B→A = 1 kg 水自水箱 B 流入水箱 A （當水箱 B 水量 $> 0$ 時）
- 有 N_B→0 = 5 kg 水自水箱 B 排出（當水箱 B 水量 $> 0$ 時）
水箱水量不得為負
每分鐘兩水箱水量為何？

建模

令 $A$ 與 $B$ 分別為水箱中的水量
$A_n = A_{n-1} + N_{0\to A} – N_{A\to B} + N_{B\to A}$
$B_n = B_{n-1} + N_{A\to B} – N_{B\to A} – N_{B \to 0}$
$A_0 = B_0 = 100$ kg
$A_{0\to A} = 3$ kg
$N_{A\to B} = \begin{cases} 6 \text{ kg} & \text{若 } A_{n-1} > 0\\0 & \text{若} A_{n-1} \leq 0 \end{cases}$
$N_{B\to A} = \begin{cases} 2 \text{ kg} & \text{若 } B_{n-1} > 0\\0 & \text{若} B_{n-1} \leq 0 \end{cases}$
$N_{B\to 0} = \begin{cases} 6 \text{ kg} & \text{若 } B_{n-1} > 0\\0 & \text{若} B_{n-1} \leq 0 \end{cases}$
條件不同，$N_A\to B$ 與 $N_{B \to A}$ 不合併

在 Excel 中建構

$n = 48 \to 52$

當 $n = 48$ 時，$A_{48} = 52$，$B_{48} = 4$
當 $n = 49$ 時
- $\Delta A_{49} = N_{0\to \text{A}} + N_{\text{B}\to \text{A}} – N_{\text{A}\to \text{B}} = 3 + 2 -6 = -1$
- $\Delta B_{49} = N_{\text{A}\to \text{B}} – N_{\text{B}\to \text{A}} – N_{\text{B}\to 0} = 6 -2 – 6 = -2$
- $A_{49} = A_{48} + \Delta A_{49} = 52 – 1 = 51$
- $B_{49} = B_{48} + \Delta B_{49} = 4 – 2 = 2$
當 $n = 50$ 時
- $\Delta A_{50} = N_{0\to \text{A}} + N_{\text{B}\to \text{A}} – N_{\text{A}\to \text{B}} = 3 + 2 -6 = -1$
- $\Delta B_{50} = N_{\text{A}\to \text{B}} – N_{\text{B}\to \text{A}} – N_{\text{B}\to 0} = 6 -2 – 6 = -2$
- $A_{50} = A_{49} + \Delta A_{50} = 51 – 1 = 50$
- $B_{50} = B_{49} + \Delta B_{50} = 2 – 2 = 0$
當 $n = 51$ 時
- $\Delta A_{51} = N_{0\to \text{A}} + N_{\text{B}\to \text{A}} – N_{\text{A}\to \text{B}} = 3 + 0 (B = 0) -6 = -3$
- $\Delta B_{51} = N_{\text{A}\to \text{B}} – N_{\text{B}\to \text{A}} – N_{\text{B}\to 0} = 6 -0 (B = 0) – 6(B = 0) = 0$
- $A_{51} = A_{50} + \Delta A_{51} = 50 – 3 = 47 $
- $B_{51} = B_{50} + \Delta B_{51} = 0 + 6 = 6$
當 $n = 52$ 時
- $\Delta A_{52} = N_{0\to \text{A}} + N_{\text{B}\to \text{A}} – N_{\text{A}\to \text{B}} = 3 + 2 -6 = -1$
- $\Delta B_{52} = N_{\text{A}\to \text{B}} – N_{\text{B}\to \text{A}} – N_{\text{B}\to 0} = 6 -2 – 6 = -2$
- $A_{52} = A_{51} + \Delta A_{52} = 47 – 1 = 46 $
- $B_{52} = B_{51} + \Delta B_{52} = 6 -2 = 4$

例題

兩水箱 A 與 B
剛開始
- 兩水箱均有 $V_{A0} = V_{B0} = 50$ L 的水
- 水箱 A 有 $A_0 = 25$ g 的鹽
- 水箱 B 不含鹽，也就是 $B_0 = 0$
每分鐘
- 朝水箱 A 注水 $Q_{0\to \text{A}} = 3$ L
- 有 $Q_{\text{A} \to \text{B}} = 4$ L 水自水箱 A 流入水箱 B
- 有 $Q_{\text{B} \to \text{A}} = 1$ L 水自水箱 B 流入水箱 A
- 有 $Q_{\text{B} \to 0} = 3$ L 水自水箱 B 排出
鹽在水箱中經充分攪拌
每分鐘兩水箱內鹽量 $A$ 與 $B$ 為何？

Zill (2023)

建模

兩水箱每分鐘水的總流入量 =總流出量 ⟹ 水量保持固定
水箱內鹽的濃度 = 鹽量/水量
水箱 A 內鹽濃度 $C_\text{A} = A/V_text{A} = A/50$
水箱 B 內鹽濃度 $C_\text{B} = B/V_text{B} = B/50$
每分鐘鹽在水箱間傳送 = 上游濃度（鹽量/水量） × 每分鐘傳送水量
- N_{A →B} = (A/V_A)Q _A→B = 4A/50
- N_{B →A} = (B/V_B)Q _B→A = B/50
- N_{B →0} = (B/V_B)Q_B→0 = 3B/50
$A_n = A_{n-1} + \Delta A_n = A_{n-1} – N_{\text{A} \to \text{B}} + N_{\text{B} \to \text{A}} =A_{n-1} – 4 A_{n-1}/50 + B_{n-1}/50 $
$\Rightarrow A_n= 46 A_{n-1}/50 + B_{n-1}/50$
- 沒有鹽分自外界進入 A
$B_n = B_{n-1} + \Delta B_n = B_{n-1} + N_{\text{A}\to \text{B}} – N_{\text{B} \to \text{A}} – N_{\text{B}\to 0} = A_{n-1} + 4 A_{n-1}/50 – B_{n-1}/50 – 3 B_{n-1}/50$
$\Rightarrow B_n = 4 A_{n-1}/50 + 46 B_{n-1}/50$
這是一個二元線性差分方程組
- $\begin{cases} A_n = a_{10} + a{11} A_{n-1} + a_{12} B_{n-1}\\B_n = a_{20} + a_{21} A_{n-1} + a_{22} B_{n-1}\end{cases}$
- $a_{10}$、$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{20}$、$a_{21}$ 與 $a_{22}$ 都是常數

在 Excel 中建構

只計算此參數組合
不需預留參數輸入區

作業

繪出兩水箱中鹽濃度隨期間的變化

作業

用 Excel 驗證：

$$\begin{cases}A_n = 46 A_{n-1}/50 + B_{n-1}/50\\ B_n =4A_{n-1}/50 + 46B_{n-1}/50\end{cases}$$

的項次式是

$$\begin{cases}A_n = C_{11}r_1^n + C_{12}R_2^n\\B_n = C_{21}r_1^n + C_{22}R_2^n\end{cases},$$

其中 $r_1$ 與 $r_2$ 是

$$r^2 – \frac{2 \times 46}{50}r + \frac{46^2 – 4}{50}=0$$

的兩根

$$r_{1,2} = \frac{1}{2} \left[\frac{2 \times 46}{50} \pm \sqrt{\left(\frac{2 \times 46}{50}\right)^2 -\left(4\right)\left(\frac{46^2 – 4}{50^2}\right)}\right]$$

$$C_{11} = \frac{23 – 25 r_2}{r_1 – r_2}$$

$$C_{12} = 25 – C_{11}$$

$$C_{21} = \frac{2}{r_1 – r_2}$$

$$C_{22} = – C_{11}$$

數學模式